Question

某人2006年年初投資98萬(wàn)元購(gòu)買了一輛挖掘機(jī)，第一年各種費(fèi)用12萬(wàn)元，以后每年費(fèi)用都比上一年增加4萬(wàn)元，若每年挖掘收益為50萬(wàn)元．
（1）問(wèn)此人投資后第幾年開(kāi)始獲利？
（2）若年平均獲利最大時(shí)，溝汰該挖掘機(jī)最合算，請(qǐng)問(wèn)此人該使用到哪一年最合算？

Answer 1

【答案】分析：（1）、根據(jù)題中已知條件將挖掘機(jī)每年的費(fèi)用表示成等差數(shù)列，寫(xiě)出關(guān)于純收入y的函數(shù)，根據(jù)y＞0可以求出n的取值范圍，便可得出此人投資后第3年開(kāi)始獲利；
（2）、根據(jù)（1）中列出的二元一次函數(shù)可知當(dāng)且僅當(dāng)n=7時(shí)，所獲得的利潤(rùn)最大．
解答：解：（1）由題設(shè)知每年的費(fèi)用是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．則純收入y與年數(shù)n的關(guān)系為
y=50n-[12+16++（8+4n）]-98=40n-2n²-98．
由y＞0得40n-2n²-98＞0
即
又因?yàn)閚∈N₊，所以3≤n≤17
答：從第三年開(kāi)始獲利．
（2）由上題知，年平均獲利為=40-2（n+）
∵n+≥2=14，當(dāng)僅且當(dāng)n=7時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)僅且當(dāng)n=7時(shí)，有最大值12．
答：此人使用7年到2012年溝汰該機(jī)器最合算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列以及一元二次函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．