Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，，，二面角M-BO-C的大小為30°．
（Ⅰ）求證：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直線BM與CD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)AD∥BC，BC=AD，O為AD的中點(diǎn)可得四邊形BCDO為平行四邊形，則CD∥BO，從而OB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，BO⊥平面PAD，而BQ?平面POB，滿足面面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則平面BOC的法向量為；O，P，B，設(shè)M（x，y，z），求出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用cos∠OBM=，求出直線BM與CD所成角的余弦值．
解答：解答：解：（Ⅰ）證明：∵AD∥BC，BC=AD，O為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO．         
∵∠ADC=90°
∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．             
∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD．      
（Ⅱ）∵PA=PD，O為AD的中點(diǎn)，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
（不證明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面BOC的法向量為；O（0，0，0），，，
．
設(shè)M（x，y，z），
則，，
∵，
∴，
∴，
在平面MBO中，，，
∴平面MBO法向量為．
∵二面角M-BO-C為30°，，
∴t=3． 
，
==，
=
cos∠OBM===．
點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，直線與直線所成的角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．