Question

（2013•渭南二模）在平面直角坐標系xOy中，點E到兩點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為2

2

，設點E的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若以 段PQ為直徑的圓經過坐標原點O，試求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，點E的軌跡C是以兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點，長半軸長為2

2

的橢圓，由此可得曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+n，代入橢圓方程，利用韋達定理及

OP

•

OQ

=0，即可確定直線l在y軸上截距的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義可知，點E的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，以2

2

為長軸的橢圓
∵c=1，a=

2

，∴b=1
∴C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+n，代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0
則△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4kn

2k2+1

，x₁x₂=

2n2-2

2k2+1

由題意，

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0
整理可得（k²+1）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0
∴（k²+1）•

2n2-2

2k2+1

+kn•

-4kn

2k2+1

+n²=0
化簡可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

∴直線l在y軸上截距的取值范圍是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．

點評：本題考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．