Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，OA•OB=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，由于告訴了橢圓為焦點(diǎn)在x軸的橢圓所以可以利用定義設(shè)出 方程，然后建立a，b的方程求解即可；
（2）問是否存在的問題在圓錐曲線中就先假設(shè)存在，分斜率存在于不存在加以討論，并把直線方程與橢圓方程進(jìn)行連聯(lián)立，利用設(shè)而不求整體代換進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為：+=1（a＞b＞0），則a²-b²=1．①
∵當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（1，）和（1，-），
∴•=（1，）•（1，-）=1-，則1-=，即a²=6b⁴．②
由①，②消去a，得6b⁴-b²-1=0．∴b²=或b²=-．
當(dāng)b²=時(shí)，a²=．因此，橢圓C的方程為+2y²=1．
（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線l．
（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由（Ⅰ）的解答可知|AB|==，焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的距離為d=-c=，
此時(shí)不滿足d=|AB|．
因此，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)不滿足條件．
（2）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-1）．
由⇒（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=．
|AB|=|x₁-x₂|===-．
又設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則x_M==．
當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，直線MP的斜率為k_MP=-．
∵x_p=，∴|MP|=|x_p-x_M|=•（-）=•．

當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，|MP|=|AB|，即•=•，
解得k²=1，k=±1．
因此，滿足條件的直線l存在，且直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．
點(diǎn)評：（1）次問重點(diǎn)考查了利用方程的思想由題意列出變量a，b的兩個(gè)方程，然后求解曲線的軌跡方程；
（2）次問重點(diǎn)考查了分類討論的思想及把直線方程與圓錐曲線方程進(jìn)行聯(lián)立設(shè)而不求整體代換的思想，還有對于圓錐曲線中是否存在利用假設(shè)的解題方法．