Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AD、DC的中點．
（1）求直線BC₁與平面EFD₁所成角的正弦值；
（2）設(shè)直線BC₁上一點P滿足平面PAC∥平面EFD₁，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）建立以D點為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸的空間直角坐標系，求出平面D₁EF的法向量，和直線BC₁的方向向量，代入向量夾角公式，可得直線BC₁與平面EFD₁所成角的正弦值；
（2）設(shè)

BP

=λ

BC1

，可求出向量

AP

的坐標（含參數(shù)λ），進而根據(jù)平面PAC∥平面EFD₁，可得平面D₁EF的法向量也垂直平面PAC，即

n

.

AP

=0，進而求出參數(shù)值后，代入向量模的計算公式可得答案．

解答：解：（1）建立以D點為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸的空間直角坐標系
則D₁（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C₁（0，2，2），F(xiàn)（0，1，0）．

BC1

=（-2，0，2），

D1E

=（1，0，-2），

EF

=（-1，1，0）．
設(shè)平面D₁EF的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

n . EF =0 n . D1E =0

，
即

-x1+y1=0 x1-2z1=0

令x₁=2，則

n

=（2，2，1）…（3分）
∴cos＜

n

，

BC1

＞=

-2

2 2． 3

=-

2

6

∴直線BC₁與平面EFD₁所成角的正弦值為 

2

6

…..…..（5分）
（2）設(shè)

BP

=λ

BC1

=（-2λ，0，2λ）
則

AP

=

AB

+

BP

=（-2λ，2，2λ），

n

.

AP

=-4λ+4+2λ=0
∴λ=2…（8分）
∵AP?平面EFD₁，AP∥平面EFD₁，
又AC∥EF，EF⊆平面EFD₁，
∴AC∥平面EFD₁
又AP∩AC=A，AP，AC?平面EFD₁，
∴平面 PAC∥平面EFD₁，
∴

BP

=（-4，0，4），|

BP

|=4

2

…．（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面平行的判定，其中建立空間坐標系，將空間線面關(guān)系及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．