Question

已知拋物線x²=2py（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，拋物線在A，B兩點處的切線相交于點Q．
（1）求

OA•

OB

的值；
（2）求點Q的縱坐標．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=kx+

p

2

與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，即可得解；
（2）求導函數(shù)，確定曲線在點A、B的切線方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標，即可得到Q點的縱坐標．

解答：解：（1）∵F(0，

p

2

)，可設直線l的方程為y=kx+

p

2

由

y=kx+ p 2 x2=2py

可得x²-2pkx-p²=0…（2分）
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x1+x2=2pk，x1x2=-p2…（3分）
∴y1y2=(kx2+

p

2

)•(kx1+

p

2

)=k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=-k2p2+k2p2+

p2

4

=

p2

4

…（4分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

3

4

p2
（2）∵x²=2py，∴y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

∴拋物線在A、B兩點處的切線的斜率分別為

x1

p

，

x2

p

∴在點A處的切線方程為y-y1=

x1

p

(x-x1)，
∴y=

x1

p

x-

x 2 1

2p

…（8分）
同理在點B的切線方程為y=

x2

p

x-

x 2 2

2p

聯(lián)立方程組

y= x1 p x- x 2 1 2p y= x2 p x- x 2 2 2p

，∴

x=pk y=- p 2

即Q點的縱坐標為-

p

2

…（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的數(shù)量積公式，考查拋物線的切線方程，解題的關鍵是靈活運用向量知識，正確求出切線方程．