（1）設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）設(shè)正數(shù)滿足=1，求證：≥-n．
【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)f（x）的最小值；
 （2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是第二步的證明：假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則．
再證明 n=k+1時(shí)，需利用歸納假設(shè)，從而得證．
解答：（1）解：對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是．
當(dāng)在區(qū)間是減函數(shù)，
當(dāng)在區(qū)間是增函數(shù)．
所以時(shí)取得最小值，，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知命題成立．
（ii）假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)，
則．
當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù)，
令．
則為正數(shù)，且．
由歸納假定知．+lnx）≥x（-k）+xlnx，①
同理，由可得≥（1-x）（-k）+（1-x）n（1-x）．②
綜合①、②兩式≥[x+（1-x）]（-k）+xlnx+（1-x）ln（1-x）
≥-（k+1）．
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查不等式的證明，注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)二模）已知：函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)f（x）=
g(x)
x
．
（1）求a、b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）如果關(guān)于x的方程f（|2x-1|）+t•（
4
|2x-1|
-3）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈S，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=log2（1-2x），判斷f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義運(yùn)算a*b為：a*b=
a(a≤b)
b(a＞b)
，例如1*2=1，2*1=1，設(shè)函數(shù)f（x）=sinx*cosx，則函數(shù)f（x）的最小正周期為
2π
2π
，使f（x）＞0成立的集合為
(2kπ，2kπ+
π
2
)
(2kπ，2kπ+
π
2
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
4•2010x+2
2010x+1
+xcosx(-1≤x≤1)，設(shè)函數(shù)f（x）的最大值是M，最小值是N，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=（3x2+x+1）（2x+3），求f′（x），f′（-1）；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-2x2+x+5，若f′（x°）=0，求x°的值．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=（2x-a）n，求f′（x）．

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