Question

已知雙曲線x²－＝1.
 
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點(diǎn)，且有一交點(diǎn)P(2,3)，求橢圓方程．
(2)設(shè)(1)中橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，直線l為橢圓的右準(zhǔn)線，N為l上的一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點(diǎn)M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
(3)設(shè)過A、F、N三點(diǎn)的圓與y軸交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)線段PQ的中點(diǎn)為(0,9)時(shí)，求這個(gè)圓的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）－（3）x²＋y²＋2x－18y－8＝0

(1)∵雙曲線焦點(diǎn)為(±2,0)，設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)．
則∴a²＝16，b²＝12.故橢圓方程為＝1.
(2)由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直線l的方程為x＝8.
設(shè)N(8，t)(t＞0)．∵AM＝MN，∴M.
由點(diǎn)M在橢圓上，得t＝6.
故所求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2,3)．
所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.
cos∠AMB＝＝＝－.
(3)設(shè)圓的方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，將A、F、N三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
得
圓的方程為x²＋y²＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y²－y－8＝0.
設(shè)P(0，y₁)，Q(0，y₂)，則y_1,2＝.
由線段PQ的中點(diǎn)為(0,9)，得y₁＋y₂＝18，t＋＝18，
此時(shí)，所求圓的方程為x²＋y²＋2x－18y－8＝0