(2012•藍(lán)山縣模擬)已知f (x)=mx(m為常數(shù),m>0且m≠1).設(shè)f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首項為m2,公比為m的等比數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an f (an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當(dāng)m=3時,求Sn
(3)若cn=f(an)lgf (an),問是否存在m,使得數(shù)列{cn}中每一項恒不小于它后面的項?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用f (x)=mx(m為常數(shù),m>0且m≠1).代入an,求出an的表達(dá)式,利用等差數(shù)列的定義,證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)通過bn=an f (an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當(dāng)m=3時,求出Sn的表達(dá)式,利用錯位相減法求出Sn
(3)利用cn=f(an)lgf (an),要使cn≥cn+1對一切n∈N*成立,推出m,n的關(guān)系式,通過m>1,0<m<1結(jié)合一切n∈N*,數(shù)列{cn}中每一項恒不小于它后面的項,推出m的取值范圍;
解答:解:(1)由題意f (an)=m2•mn-1,即man=mn+1
∴an=n+1,∴an+1-an=1,∴數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.
(2)由題意bn=anf (an)=(n+1)•mn+1,
當(dāng)m=3時,bn=(n+1)•3n+1,∴Sn=2•32+3•33+4•34+…+(n+1)•3n+1…①,
①式兩端同乘以3得,3Sn=2•33+3•34+4•35+…+(n+1)•3n+2…②
②-①并整理得,
2Sn=-2•32-33-34-35-…-3n+1+(n+1)•3n+2=-32-(32+33+34+35+…+3n+1)+(n+1)•3n+2
=-32-
32(1-3n)
1-3
+(n+1)•3n+2=-9+
9
2
 (1-3n)+(n+1)•3n+2=(n+
1
2
)3n+2-
9
2

∴Sn=
1
4
(2n+1)3n+2-
9
4

(3)由題意cn=f (an)•lg f (an)=mn+1•lgmn+1=(n+1)•mn+1•lgm,
要使cn≥cn+1對一切n∈N*成立,即(n+1)•mn+1•lgm≥(n+2)•mn+2•lgm,對一切n∈N*成立,
當(dāng)m>1時,lgm>0,所以n+1≥m(n+2),即m≤
n+1
n+2
對一切n∈N*成立,
因為
n+1
n+2
=1-
1
n+2
的最小值為
2
3
,所以m≤
2
3
,與m>1不符合,即此種情況不存在.
②當(dāng)0<m<1時,lgm<0,所以n+1≤m(n+2),即m≥
n+1
n+2
對一切n∈N*成立,所以
2
3
≤m<1.
綜上,當(dāng)
2
3
≤m<1時,數(shù)列{cn}中每一項恒不小于它后面的項.
點評:本題考查數(shù)列的定義的應(yīng)用,錯位相減法,數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合,恒成立問題的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,知識面廣,運(yùn)算量大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•藍(lán)山縣模擬)已知m是一個給定的正整數(shù),如果兩個整數(shù)a,b被m除得的余數(shù)相同,則稱a與b對模m同余,記作a≡b(modm),例如:5≡13(mod4).若22010≡r(mod7),則r可以為( 。

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