Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

．試用這個(gè)結(jié)論證明：若函數(shù)g（x）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）+f（x₁），（其中x₂＞x₁＞-1），則對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）已知正數(shù)λ₁，λ₂滿足λ₁+λ₂=1，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，若x₂＞x₁＞-1時(shí)，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（1）=0求出m值，再把m值代入原函數(shù)，驗(yàn)證原函數(shù)在x=1時(shí)取得極大值；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)后得到h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．由已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上可導(dǎo)，則存在x₀∈（x₁，x₂）使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．又f′(x)=

1

x+1

+m，則
h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

，然后由x在（x₁，x₀），（x₀，x₂）內(nèi)h′（x）的符號(hào)判斷其單調(diào)性，從而說明對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）根據(jù)已知條件利用作差法得到λ₁x₁+λ₂x₂∈（x₁，x₂），然后結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論得答案．

解答： （Ⅰ）解：由題設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），且f′(x)=

1

x+1

+m，
∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，
∴f′（1）=0，得m=-

1

2

，此時(shí)f′(x)=

1-x

2(x+1)

，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值時(shí)，m=-

1

2

；
（Ⅱ）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=f（x）-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）-f（x₁），
則h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在x₀∈（x₁，x₂），
使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
又f′(x)=

1

x+1

+m，
∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

，
∴當(dāng)x∈（x₁，x₀）時(shí)，h′（x）＞0，從而h（x）單調(diào)遞增，h（x）＞h（x₁）=0；
當(dāng)x∈（x₀，x₂）時(shí)，h′（x）＜0，從而h（x）單調(diào)遞減，h（x）＞h（x₂）=0；
故對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）證明：∵λ₁+λ₂=1，且λ₁＞0，λ₂＞0，x₂＞x₁＞-1，
∴λ₁x₁+λ₂x₂-x₁=x₁（λ₁-1）+λ₂x₂=λ₂（x₂-x₁）＞0，
∴λ₁x₁+λ₂x₂＞x₁，
同理λ₁x₁+λ₂x₂＜x₂，
∴λ₁x₁+λ₂x₂∈（x₁，x₂）．
由（Ⅱ）知對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x），
從而f（λ₁x₁+λ₂x₂）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(λ1x1+λ2x2-x1)+f(x1)=λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，構(gòu)造函數(shù)并由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性是解答該題的關(guān)鍵，是難度較大的題目．