Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象關于y軸對稱，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)f（x）用和角與差角的正弦公式展開，合并同類項后再用輔助角公式，可得f（x）=2sin(2x-

π

6

)+a，再結(jié)合函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，可得最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）按題中方法平移后，得到g（x）=2sin[2x+(2m-

π

6

)]+a，當2m-

π

6

=kπ+

π

2

(K∈Z)時，g（x）為偶函數(shù)且圖象關于y軸對稱，再k=0，得m的最小正值為

π

3

．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a=2sin2xcos

π

6

-cos2x+a
=

3

sin2x-cos2x+a=2sin(2x-

π

6

)+a．…（3分）
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π…（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．…（7分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后得g(x)=2sin[2(x+m)-

π

6

]+a=2sin[2x+(2m-

π

6

)]+a，
要使g（x）的圖象關于y軸對稱，只需2m-

π

6

=kπ+

π

2

(K∈Z)…（9分）
即m=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)，取k=0，得m的值為

π

3

為最小正值
∴m的最小值為

π

3

．…（12分）

點評：本題將一個函數(shù)化簡整理為y=Asin（ωx+φ）+k，并求它的單調(diào)性和周期性，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識點，屬于中檔題．