Question

如圖，三棱柱的所有棱長都為2，為中點(diǎn),平面

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，  平面平面，

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070112225716516415/SYS201307011223432606776583_DA.files/image018.png">軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，． 平面．

（2）設(shè)平面的法向量為．

，．，，

令得

由（1）知平面，為平面的法向量．

   

二面角的余弦值為．

（3）由（2），為平面法向量，   

．

點(diǎn)到平面的距離．

考點(diǎn)：空間中二面角以及點(diǎn)到面的距離

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是能合理的建立坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，從而得到法向量的坐標(biāo)，借助于向量的數(shù)量積來求解，屬于基礎(chǔ)題。