Question

已知， ，，其中e是無理數(shù)且e=2.71828 ，.

（1）若，求的單調區(qū)間與極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)a，使的最小值是？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）的單調遞減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為;（2）證明見解析；（3）存在實數(shù)，使得在上的最小值為-1．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）將代入后對函數(shù)求導，可得，令，可解得函數(shù)的單調區(qū)間，從而判斷出極值; (2) 構造函數(shù)，由知，故不等式成立；（3）假設存在實數(shù)a，使（）有最小值-1, ,對進行討論，注意，當時，，無最小值；當時，，得；當時，，，得（舍去）,存在實數(shù)，使得在上的最小值為-1．

【解析】
（1）當a=1時，，， （1分）

令，得x=1.

當時，，此時單調遞減； （2分）

當時，，此時單調遞增． （3分）

所以的單調遞減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為 （4分）

（2）由（1）知在上的最小值為1．（5分）

令，，所以．（6分）

當時，，在上單調遞增， （7分）

所以.

故在（1）的條件下，．（8分）

（3）假設存在實數(shù)a，使（）有最小值-1．

因為， （9分）

①當時，，在上單調遞增，此時無最小值； （10分）

②當時，當時，，故在（0，a）單調遞減；當時，，故在（a，e）單調遞增； （11分）

所以，得，滿足條件； （12分）

③當時，因為，所以，故在上單調遞減.

，得（舍去）； （13分）

綜上，存在實數(shù)，使得在上的最小值為-1．（14分）

考點：1.導數(shù)與函數(shù)的單調性；2.導數(shù)的運算.