Question

某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷售40天全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場的銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示，其中圖1中的折線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖2中的拋物線表示國外市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖3中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系（國內(nèi)外市場相同）
（1）分別寫出國內(nèi)市場的日銷售量f（t），國外市場的日銷售量g（t）與第一批產(chǎn)品A的上市時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）每一批產(chǎn)品A上市后，問哪一天這家公司的日銷售利潤最大？最大是多少？

Answer 1

分析：（1）觀察函數(shù)的圖象知：圖1是一條折線，其解析式寫成分段函數(shù)的形式；圖2是拋物線，其解析式是二次函數(shù)的形式；由圖象得函數(shù)的解析式即可；
（2）先由題意得出這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求出此函數(shù)的最大值，從而得到第一批產(chǎn)品A上市后，這家公司的日銷售利潤在第幾天最大，最大值為多少萬元．

解答：解：（1）由圖象得函數(shù)的解析式分別為：
f(t)=

2t (0≤t≤30) -6t+240 (30＜t≤40)

g(t)=-

3

20

t2+6t(0≤t≤40)．
（2）設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤為q（t），
則q(t)=

3t (0≤t≤20) 60 (20＜t≤40)

，
從而這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式為：
Q(t)=

- 9 20 t3+24t2 (0≤t≤20) -9t2+480t (20＜t≤30) -9t2+14400 (30＜t≤40)

．
①當(dāng)0≤t≤20時(shí)，Q'（t）=-

27

20

t2+48t=

t(20×48-27t)

20

≥0
∴Q（t）在區(qū)間[0，20]上單調(diào)遞增，此時(shí)Q_max（t）=Q（20）=6000
②當(dāng)20＜t≤30時(shí)Q(t)=-9(t-

80

3

)2+6400，t∈N⁺，
t=27時(shí)Q_max（t）=Q（27）=6399
③當(dāng)30＜t≤40Q（t）＜Q（30）=6300
綜上所述Q_max（t）=Q（27）=6399
第一批產(chǎn)品A上市后，這家公司的日銷售利潤在第27天最大，最大值為6399萬元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．