Question

8．已知f（x）=x²．
（1）解不等式|f（x）-1|+|f（x）-3|≥8；
（2）若${x_1}，{x_2}∈（-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，對于ε＞0，證明：當(dāng)|x₁-x₂|＜ε時，|f（x₁）-f（x₂）|＜3ε．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，分類討論，即可解不等式；
（2）證明-3＜x₁+x₂＜3，得到當(dāng)|x₁-x₂|＜ε時，|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁+x₂）（x₁-x₂）|＜3ε．

解答 （1）解：由題意，f（x）＜1，1-f（x）+3-f（x）≥8，∴f（x）≤-2，不成立；
1≤f（x）≤3，f（x）-1+3-f（x）≥8，不成立；
f（x）＞3，f（x）-1+f（x）-3≥8，∴f（x）≥6，∴f（x）≥6，∴x²≥6，
∴x≤-$\sqrt{6}$或x≥$\sqrt{6}$，
∴不等式的解集為{x|x≤-$\sqrt{6}$或x≥$\sqrt{6}$}；
（2）證明：∵${x_1}，{x_2}∈（-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，
∴-3＜x₁+x₂＜3，
∴當(dāng)|x₁-x₂|＜ε時，|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁+x₂）（x₁-x₂）|＜3ε．

點評 本題考查不等式的解法與證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．