已知拋物線的焦點(diǎn)為，過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，

（1）求證：直線與軸交點(diǎn)必為定點(diǎn)；

（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于，求的最小值，并求當(dāng)取最小值時(shí)直線的方程.

 

【答案】

（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點(diǎn).

（2）或.

【解析】

試題分析：（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點(diǎn).

（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定過點(diǎn)及過點(diǎn)的切線方程并聯(lián)立方程組，確定,，

進(jìn)一步應(yīng)用“弦長(zhǎng)公式”及均值定理，建立 的方程，確定得到，從而求得直線的方程為：或.

試題解析：設(shè)，∵拋物線的焦點(diǎn)為

∴可設(shè)直線的方程為：

，消去并整理得：

  4分

,

直線的方程為

∴直線與軸交于定點(diǎn)    7分

（2），∴過點(diǎn)的切線方程為：

即：③，同理可得過點(diǎn)的切線方程為：

④  9分

③—④得：()

∴

③+④得：

  12分

∴,

∴,取等號(hào)時(shí)，，

直線的方程為：或.  15分

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，均值定理的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線C上的一點(diǎn)，且的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為．

（I）求拋物線C的方程；

（II）若圓F的方程為，過點(diǎn)P作圓F的2條切線分別交軸于點(diǎn)，求面積的最小值時(shí)的值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆海南省高二上期末考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且， 則有    （　  ）

A．                   B．

C．                  D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省臺(tái)州市高三調(diào)研考試?yán)頂?shù) 題型：選擇題

已知拋物線的焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為過作軸的垂線交拋物線于兩點(diǎn)．有下列四個(gè)命題：①必為直角三角形；②不一定為直角三角形；③直線必與拋物線相切；④直線不一定與拋物線相切．其中正確的命題是

(A)①③             (B)①④             (C)②③                 (D)②④

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：選擇題

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)A，且AK，垂足為K，則的面積是（　　）

A　4　　　  B　　      C　　　　   D　8

 

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已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且，則有（　�。�

A．        B．

C．      D．

 

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