Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數，對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 數列{a_n}滿足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．則數列的通項公式a_n=________．

Answer 1

n2ⁿ
分析：可根據a_n=f（2ⁿ）再利用對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2ⁿ，y=2得到遞推關系式a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后兩邊同除以2ⁿ⁺¹可構造出數列{}是以為首項公差為1的等差數列后就可解決問題了．
解答：由于a_n=f（2ⁿ）則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2則f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴
∴數列{}是以為首項公差為1的等差數列
∴
∴a_n=n2ⁿ
點評：此題主要考查了利用函數的特征求數列的通項公式，是函數與數列的綜合題．解題的關鍵是分別賦予x=2ⁿ，y=2得到a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后構造出數列{}是以為首項公差為1的等差數列后就可求解．同時要對遞推關系式a_n+1=pa_n+qⁿ通過兩邊同除以qⁿ⁺¹構造出{}為等差數列進而求出a_n的通項公式．