分析 (Ⅰ)利用拋物線的定義列出關(guān)于p的方程,求出p,得到拋物線的方程,把點(diǎn)M(m,2)的坐標(biāo)代入,解得m.
(Ⅱ)解法1:設(shè)AB、AC的方程為y=k1x+b,y=k2x+12與拋物線方程聯(lián)立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),利用韋達(dá)定理,結(jié)合kAB+4kCD=0,求解即可.
解法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),設(shè)AC的方程為,y=kx+12,與拋物線方程聯(lián)立,得x2-2kx-1=0,推出x1x3=-1,同理,x2x4=-1,求出直線AB的方程為y−x212=x1+x22(x−x1)化簡得直線AB恒經(jīng)過點(diǎn)(0,-2).
解答 解:(Ⅰ)由點(diǎn)M(m,2)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為52,
結(jié)合拋物線的定義得,2+p2=52,即p=1,---------------------------------------(2分)
拋物線的方程為x2=2y,把點(diǎn)M(m,2)的坐標(biāo)代入,可解得m=2;------------------(3分)
(Ⅱ)解法1:顯然直線AB、AC的斜率都存在,
分別設(shè)AB、AC的方程為y=k1x+b,y=k2x+12---------------------------------(4分)
聯(lián)立{y=k1x+bx2=2y,得x2-2k1x-2b=0,------------------------------------------(5分)
聯(lián)立{y=k2x+12x2=2y,得x2-2k2x-1=0,-------------------------------------------(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
則x1x2=-2b,x1x3=-1,同理,x2x4=-1,--------------------------------------(7分)
故kAB+4kCD=y2−y1x2−x1+4•y4−y3x4−x3=12(x22−x21)x2−x1+4•12(x24−x23)x4−x3---------------------(8分)
=x1+x22+2(x3+x4)=x1+x22−2(1x1+1x2)=0,-----------------------------------(9分)
注意到點(diǎn)A、B在第一象限,x1+x2≠0,∴12−2x1x2=0---------------------------(10分)
故得x1x2=4,-2b=4,∴b=-2,即直線恒經(jīng)過點(diǎn)(0,-2).----------------------(12分)
解法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
顯然直線AC的斜率都存在,設(shè)AC的方程為,y=kx+12----------------------------(4分)
聯(lián)立{y=kx+12x2=2y,得x2-2kx-1=0,---------------------------------------------(5分)
∴x1x3=-1,同理,x2x4=-1,--------------------------------------------------(6分)
故kAB+4kCD=y2−y1x2−x1+4•y4−y3x4−x3=12(x22−x21)x2−x1+4•12(x24−x23)x4−x3---------------------(8分)
=x1+x22+2(x3+x4)=x1+x22−2(1x1+1x2)=0,-----------------------------------(9分)
注意到點(diǎn)A、B在第一象限,x1+x2≠0,
∴12−2x1x2=0,故得x1x2=4,-------------------------------------------------(10分)
直線AB的方程為y−x212=x1+x22(x−x1)化簡得y=x1+x22x−x1x22=x1+x22x−2
即直線AB恒經(jīng)過點(diǎn)(0,-2).----------------------------------------------------(12分).
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法,直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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