Question

在△ABC中，已知2

AB

•

AC

=

3

|

AB

|•|

AC

|=3

BC

2，則∠C=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用數(shù)量積的定義，可得A，再由余弦定理，可得a，b，c的關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到角C．

解答： 解：由于2

AB

•

AC

=

3

|

AB

|•|

AC

|=3

BC

2，
則2|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

|

AB

|•|

AC

|，即有cosA=

3

2

，
由于A為三角形的內(nèi)角，則A=

π

6

，
又設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，
則

3

cb=3a²，又由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc，即有

3

b²+

3

c²-4bc=0，
解得，b=

3

c或b=

3

3

c，
若b=

3

c，則a=c，即有C=A=

π

6

；
若b=

3

3

c，則a=

3

3

c，即有A=B=

π

6

，則C=π-

π

6

×2=

2π

3

．
故答案為：

π

6

或

2π

3

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．