Question

函數(shù)f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為（　　）

• A、[

  1

  2

  ，

  1

  2

  e

  π

  2

  ]
• B、（

  1

  2

  ，

  1

  2

  e

  π

  2

  ）
• C、[1，e

  π

  2

  ]
• D、（1，e

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：計算f′（x）=e^xcosx，當0≤x≤

π

2

時，f′（x）≥0，f（x）是[0，

π

2

]上的增函數(shù)．分別計算f（0），f（

π

2

）．

解答：解：f′（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）+

1

2

e^x（cosx-sinx）=e^xcosx，
當0≤x≤

π

2

時，f′（x）≥0，
∴f（x）是[0，

π

2

]上的增函數(shù)．
∴f（x）的最大值在x=

π

2

處取得，f（

π

2

）=

1

2

e

π

2

，
f（x）的最小值在x=0處取得，f（0）=

1

2

．
∴函數(shù)值域為[

1

2

，

1

2

e

π

2

]
故選A．

點評：考查導數(shù)的運算，求函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，并計算最值．