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設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（2）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
分析：（Ⅰ）根據題意列出關于a，b，c的方程組；
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
解之即得a，b，從而寫出所求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當θ≠
π
2
，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
?
a=3
2
c=3
b=3
所求橢圓M的方程為
x2
18
+
y2
9
=1…（3分）
（Ⅱ）當θ≠
π
2
，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ）有
y=kx-3k
x2
18
+
y2
9
=1
?（ 1+2k2 ）x2-12k2x+18（ k2-1 ）=0
設點A （ x1，y1 ），B （ x2，y2 ）有x1+x2=
12k2
1+2k2
，x1x2=
18(k2-1)
1+2k2

|AB|=
(1+k2)[(
12k2
1+2k2
)2-4×
18(k2-1)
1+2k2
]
=
6
2
(1+k2)
1+2k2

又因為k=tanθ=
sinθ
cosθ
代入**式得|AB|=
6
2
cos2θ+sin2θ
=
6
2
1-sin2θ+2sin2θ
=
6
2
1+sin2θ

當θ=
π
2
時，直線AB的方程為x=3，此時|AB|=3
2

而當θ=
π
2
時，|AB|=
6
2
1+sin2θ
=3
2

∴|AB|=
6
2
1+sin2θ

同理可得|CD|=
6
2
(1+k2)
2+k2
=
6
2
1+cos2θ

有|AB|+|CD|=
6
2
1+sin2θ
+
6
2
1+cos2θ
=
18
2
2+
1
4
sin2θ

因為sin2θ∈[0，1]，所以 當且僅當sin2θ=1時，|AB|+|CD|有最小值是8
2
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
；
（Ⅲ）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設過右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點，求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為
2
3
3
．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點C為（-a，0），點P在橢圓M上（與A、C均不重合），點E在直線PC上，若直線PA的方程為y=kx-4，且
CP
•
BE
=0，試求直線BE的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）設橢圓M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-2
與x軸交于點A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O為坐標原點）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右頂點和上頂點分別為A，B，直線AB與直線y=-x相交于點P，若點P在拋物線y2=-ax上，則橢圓M的離心率等于
3
2
3
2
．

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