Question

已知a＞0．且a≠1，數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令bn＝anlgan(n∈N*)． (1) 求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)的和Sn (2) 若數(shù)列｛bn｝中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由題設(shè)an＝a·an+1＝an，則bn＝anlgan＝anlgan＝nanlga 　　從而Sn＝alga＋2a2lga＋3a3lga＋…＋nanlga＝(1＋2a＋3a2＋…＋nan－1)alga． 　　令Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，則aTn＝a＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan． 　　兩式相減得(1－a)Tn＝1＋a＋a2＋…＋an+1－nan＝－nan＝． 　　因?yàn)閍≠1，所以Tn＝，所以Sn＝．

(2)

設(shè)bk+1＞bk(k∈N*)，則(k＋1)ak+1lga＞kaklga．因?yàn)閍k＞0，所以［k(a－1)＋a］lga＞0． 　　當(dāng)a＞1時(shí)，lga＞0，由k(a－1)＋a＞0，解得k＞ 　　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lga＜0，由k(a－1)＋a＜0，解得k＞． 　　為了使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，只需要小于k的最小值1． 　　當(dāng)a＞1時(shí)，＜1恒成立；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＜1，解得0＜a＜． 　　綜上所述，a＞1或0＜a＜． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)求Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1的和的思路為錯(cuò)位相消求和．錯(cuò)位相消求和的最基本的形式為數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛anbn｝的前n項(xiàng)的和．(2)在解不等式bk+1＞bk(k∈N*)時(shí)，首先要看成是關(guān)于k的不等式，求出k的解集k＞，因?qū)θ我夥橇阕匀粩?shù)k均成立，再 轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．