Question

如圖，點(diǎn)P是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-1），PA與y軸于點(diǎn)N，PB與x軸交于點(diǎn)M，設(shè)

PO

=x

PM

+y

PN

，（x，y∈R），P（cosθ，sinθ）．
（1）求點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)（用θ表示）；
（2）求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)N（0，t），由P、N、A三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)

AN

=λ

AP

，利用向量的坐標(biāo)表示可有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，可求M，N的坐標(biāo)
（2）由

PO

=x

PM

+y

PN

代入可得：-cosθ=-

sinθcosθ

1+sinθ

x+(-cosθ)y，-sinθ=-sinθ•x-

sinθcosθ

1+cosθ

y，聯(lián)立可求x+y，結(jié)合θ的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）因?yàn)镻A與y軸交與于點(diǎn)N，可設(shè)N（0，t），
由P、N、A三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)

AN

=λ

AP

，λ∈R①
又A（-1，0），P（cosθ，sinθ），所以

AN

=(1，t)，

AP

=(cosθ+1，sinθ)，代入①，
有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，
因?yàn)辄c(diǎn)P是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，所以cosθ＞0，sinθ＞0，且0＜θ＜

π

2

，
所以t=

sinθ

1+cosθ

，此時(shí)N(0，

sinθ

1+cosθ

)，…4分
同理M(

cosθ

1+sinθ

，0)．                             …7分
說(shuō)明：可以用直線(xiàn)方程或比例等其他方法求解
（2）由（1）知

PO

=(-cosθ，-sinθ)，

PM

=(

cosθ

1+sinθ

-cosθ，-sinθ)=(

-sinθcosθ

1+sinθ

，-sinθ)，

PN

=(-cosθ，

sinθ

1+cosθ

-sinθ)=(-cosθ，

-sinθcosθ

1+cosθ

)，…9分
代入

PO

=x

PM

+y

PN

，得：-cosθ=-

sinθcosθ

1+sinθ

x+(-cosθ)y，整理得sinθ•x+（1+sinθ）y=1+sinθ②-sinθ=-sinθ•x-

sinθcosθ

1+cosθ

y，整理得（1+cosθ）x+cosθ•y=1+cosθ③
②+③，解得：x+y=

2+sinθ+cosθ

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，…12分
由0＜θ＜

π

2

，知

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1，
所以1+

2

sin(θ+

π

4

)∈(2，1+

2

]，
即x+y∈[1+

1

1+ 2

，1+

1

2

)，故x+y的取值范圍為[

2

，

3

2

)．   …15分
說(shuō)明：可以解得x=

1+sinθ

1+sinθ+cosθ

，y=

1+cosθ

1+sinθ+cosθ

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)表示及向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，此題對(duì)學(xué)生的基本功要求較高．