Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先寫出過A、B的直線方程，因為由題意得有惟一解．消去y得：有惟一解，
利用其根的判別式等于0，即可求得a，b的值，從而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以由解得x₁=x₂=1，接下來利用距離公式求得線段的長，從而證得．
解答：解：（Ⅰ）過A、B的直線方程為
因為由題意得有惟一解．
即有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），，
故（a²+4b²-4）=0
又因為，即，
所以a²=4b²
從而得，
故所求的橢圓方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
由解得x₁=x₂=1，，
因此．
從而，
因為，
所以
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程、橢圓方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、方程思想．屬于中檔題．