Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）經(jīng)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\frac{x}{2}\\{y^'}=y\end{array}\right.$后的曲線為C₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）A，B是曲線C₂上兩點(diǎn)，且$∠AOB=\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C₁的普通方程，從而求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，由此能求出曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)A（ρ₁，θ），$B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{3}）$（$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}）$），推導(dǎo)出|OA|+|OB|=$2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$，由此能求出|OA|+|OB|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$化為普通方程為：$\frac{{{{（x-2）}^2}}}{4}+{y^2}=1$，
又$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\frac{x}{2}\\{y^'}=y\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y={y^'}\end{array}\right.$代入上式可知：
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（2）設(shè)A（ρ₁，θ），$B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{3}）$（$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}）$），
∴$|{OA}|+|{OB}|={ρ_1}+{ρ_2}=2cosθ+2cos（θ+\frac{π}{3}）$=$2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$，
因?yàn)?（θ+\frac{π}{6}）∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$，
所以|OA|+|OB|的取值范圍是$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段和的取值范圍的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．