Question

問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使等式1²+2²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=

1

3

n(an2+bn+c)成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a，b，c，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答： 解：假設(shè)存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2²+1²=

1

3

n(an2+bn+c)對(duì)于一切n∈N^*都成立．
當(dāng)n=1時(shí)，a+b+c=3；當(dāng)n=2時(shí)，8a+4b+2c=18；當(dāng)n=3時(shí)，9a+3b+c=19．
解得a=2，b=0，c=1．
證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a、b、c使等式成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2²+1²=

1

3

k（2k²+1）；
當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=

1

3

（k+1）[2（k+1）²+1]．
即n=k+1時(shí)，等式成立．
因此存在a=2，b=0，c=1，使等式對(duì)一切n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．