圖1是一個正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖2的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下列問題

（1） 求證：MN//平面PBD； （2）求證：AQ平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值。

（1）只需證MN//BD；（2）只需證，。（3）。

解析試題分析：畫出MN和PB如圖所示

（1） 證明：在正方體ABCD-PMQN中
  MN//BD  MN//平面PBD     
（2）證明：在正方體ABCD-PMQN中

   

同理可證 ：  
        
（3）解： 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1
則 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)
由知平面PBD的一個法向量是
平面MBD的一個法向量是

 二面角P-DB-M的余弦值為 .
考點：正方體的的平面展開圖；線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；二面角。
點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單運算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設(shè)分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。

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相關(guān)習(xí)題

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在空間幾何體中，平面，平面平面，，．

（I）求證：平面；
（II）如果平面，求證：．

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已知正四棱柱的底面邊長為2，.

（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；
（2）若為線段的中點，求與平面所成角的大小.

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如圖，圓錐中，為底面圓的兩條直徑 ，AB交CD于O，且，，為的中點.

（1）求證：平面；
（2）求圓錐的表面積；求圓錐的體積。
（3）求異面直線與所成角的正切值 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分) 已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中，且,分別為、、的中點

（1）求證：PB//平面EFG
（2）求直線PA與平面EFG所成角的大小
（3）在直線CD上是否存在一點Q，使二面角的大小為？若存在，求出CQ的長；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，分別是，的中點．若，。

（1）求證：平面；
（2）求直線平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖4平面四邊形ABCD中，AB=AD=，BC=CD=BD，設(shè).

（1）將四邊形ABCD的面積S表示為的函數(shù)；
（2）求四邊形ABCD面積S的最大值及此時值.

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（本題滿分10分) 如圖，在平行四邊形中，，將沿折起到的位置，使平面平面.
（1）求二面角E-AB-D的大��；
（2）求四面體的表面積和體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．

⑴ 證明：//平面；
⑵證明：⊥；
⑶ 當(dāng)為的中點時，求四棱錐的體積.

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