Question

已知a＞0，f（x）=a•e^x是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)，并且曲線y=f（x）在其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線和曲線y=f^-1（x）在其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值集合．

Answer 1

解：（1）由已知條件可知：函數(shù)f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點(diǎn)M（0，a）；函數(shù)，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點(diǎn)N（a，0）．
而，
有 f'（0）=[f^-1（a）]'，即 ?a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得，從而有
當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，．
①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，
令，則
再令，則
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，所以h（x）＞h（1）=0，進(jìn)而
所以有φ（x）＜φ（1）=1，這樣此時(shí)只需m≥1即可；
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，
令，則
再令，則
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，所以h（x）＞h（1）=0，進(jìn)而
所以有φ（x）＞φ（1）=1，這樣此時(shí)只需m≤1即可；
根據(jù)題意，①②兩種情形應(yīng)當(dāng)同時(shí)成立，因此m=1，即其取值集合為{1}
分析：（1）由已知條件可知：函數(shù)f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點(diǎn)M（0，a）；函數(shù)，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點(diǎn)N（a，0）．利用在其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，從而可求a=1．
（2）由（1）可得，從而有當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，．①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，；②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，
從而可解．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，有一定的難度．