Question

9．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）d的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）-f（-x）=2x³，且當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＞3x²，則不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1的解集是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)令F（x）=f（x）-x³，判斷出F（x）的奇偶性和單調(diào)性，即可得到|x|＞|x-1|，解得即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x³，則由f（x）-f（-x）=2x³，
可得F（-x）=F（x），故F（x）為偶函數(shù)，
又當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＞3x²即F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1化為F（x）＞F（x-1），
所以有|x|＞|x-1|，
解得x＞$\frac{1}{2}$，
故答案為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．