Question

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足

DQ

=

1

2

CP

．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E-l-C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

分析：（I）直線l∥平面PAC．連接EF，利用三角形的中位線定理可得，EF∥AC；利用線面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由線面平行的性質(zhì)定理可得EF∥l．再利用線面平行的判定定理即可證明直線l∥平面PAC．
（II）綜合法：利用線面垂直的判定定理可證明l⊥平面PBC．連接BE，BF，因?yàn)锽F?平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分別利用三個(gè)直角三角形的邊角關(guān)系即可證明結(jié)論；
向量法：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量

CA

，

CB

，

CP

所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：解：（Ⅰ）直線l∥平面PAC，證明如下：
連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因?yàn)閘?平面PAC，EF?平面PAC，所以直線l∥平面PAC．
（Ⅱ）（綜合法）如圖1，連接BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD，且l∥AC．
因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
連接BE，BF，因?yàn)锽F?平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
由

DQ

=

1

2

CP

，作DQ∥CP，且DQ=

1

2

CP．
連接PQ，DF，因?yàn)镕是CP的中點(diǎn)，CP=2PF，所以DQ=PF，
從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．
連接CD，因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，
故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得sinθ=

CF

DF

，sinα=

BF

DF

，sinβ=

CF

BF

，
從而sinαsinβ=

CF

BF

•

BF

DF

=

CF

DF

=sinθ，即sinθ=sinαsinβ．
（Ⅱ）（向量法）如圖2，由

DQ

=

1

2

CP

，作DQ∥CP，且DQ=

1

2

CP．
連接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD．
以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量

CA

，

CB

，

CP

所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA=a，CB=b，CP=2c，則有C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，P(0，0，2c)，Q(a，b，c)，E(

1

2

a，0，c)，F(xiàn)(0，0，c)．
于是

FE

=(

1

2

a，0，0)，

QP

=(-a，-b，c)，

BF

=(0，-b，c)，
∴cosα=

FE • QP

| FE | •| QP |

=

a

a2+b2+c2

，從而sinα=

1-cos2α

=

b2+c2

a2+b2+c2

，
又取平面ABC的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，1)，可得sinθ=

| m • QP |

| m |•| QP |

=

c

a2+b2+c2

，
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
所以由

n • FE =0 n • BF =0.

可得

1 2 ax=0 -by+cz=0.

取

n

(0，c，b)．
于是|cosβ|=

| m • n |

| m |•| n |

=

b

b2+c2

，從而sinβ=

1-cos2β

=

c

b2+c2

．
故sinαsinβ=

b2+c2

a2+b2+c2

•

c

b2+c2

=

c

a2+b2+c2

=sinθ，即sinθ=sinαsinβ．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面角、二面角、異面直線所成的角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．