Question

17．已知點Q是圓M：（x+1）²+y²=64上的動點（圓心為M）上的動點，點N（1，0），線段QN的中垂線交MQ于點P．
（1）若點P的軌跡是E，求E的軌跡方程；
（2）是否存在直線l，使原點到直線l的距離為1，并且以l截軌跡E所得的弦為直徑的圓恰好過原點？如存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線性質(zhì)得出|PQ|=|PN|；再分析出|PM|+|PN|為定值，則知點P的軌跡為橢，最后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出答案
（2）設(shè)直線y=kx+m，因為原點到直線l的距離為1，所以$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，所以m²=k²+1．代入曲線C，消去y并整理，由AB為直徑的圓過原點O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，可知M（-1，0），|MQ|=8，
因為點P在線段NQ的垂直平分線上，所以|PQ|=|PN|
又|PM|+|PQ|=|MQ|=8，所以|PM|+|PN|=8（8＞2），
那么點P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其中a=4，c=1，
則b²=a²-c²=15，
所以點P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（2）設(shè)直線y=kx+m，
因為原點到直線l的距離為1，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，所以m²=k²+1．
代入曲線C，消去y并整理得（16k²+15）x²+32kmx+16m²-240=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{32km}{16{k}^{2}+15}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$．
由AB為直徑的圓過原點O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$+km•（-$\frac{32km}{16{k}^{2}+15}$）+m²=$\frac{-225{k}^{2}+15}{16{k}^{2}+15}$，
于是x₁x₂+y₁y₂=$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$+$\frac{-225{k}^{2}+15}{16{k}^{2}+15}$=0，得k=±1．滿足題意

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．