Question

已知△ABC的頂點(diǎn)B（-3，0）、C（3，0），E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，AB和AC邊上的中線交于G，并且|GF|+|GE|=5，則點(diǎn)G的軌跡方程為

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)

．

Answer 1

分析：由題意得出G點(diǎn)為△ABC的重心，結(jié)合|GF|+|GE|=5，算出|GB|+|GC|=10，從而得到G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓．利用橢圓的基本量結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，結(jié)合三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為共線，可得所求點(diǎn)G的軌跡方程．

解答：解：∵△ABC的邊AB和AC邊上的中線交于G，
∴G點(diǎn)為△ABC的重心，
∵|GF|+|GE|=5，可得|GB|+|GC|=2（|GF|+|GE|）=10，
∴G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，2a=5，c=2
可得a=5，b²=a²-c²=16
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
由三角形ABC中，A點(diǎn)不在直線BC上，可得y=

1

3

y_A≠0，即x≠±5
因此，點(diǎn)G的軌跡方程為

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)
故答案為：

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)；

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的重心滿足的條件，求點(diǎn)G的軌跡方程．著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．