Question

13．解關于x的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＞0（a∈R）

Answer 1

分析 將不等式等價于（ax-1）（x+1）＞0，對a分類討論后，分別由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．

解答 解：$\frac{ax-1}{x+1}$＞0等價于（ax-1）（x+1）＞0，
（1）當a=0時，-（x+1）＞0，解得x∈（-∞，-1）
（2）當a＞0時，解得$x∈（-∞，-1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，
（3）當a＜0時，
①$\frac{1}{a}$=-1，即a=-1時，解得x∈ϕ
②$\frac{1}{a}$＞-1，即a＜-1時，解得$x∈（-1，\frac{1}{a}）$，
③$\frac{1}{a}$＜-1，即-1＜a＜0時，解得$x∈（\frac{1}{a}，-1）$，
綜上可得，當a=0時，不等式的解集是（-∞，-1）
當a＞0時，不等式的解集是$（-∞，-1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，
當a=-1時，不等式的解集是ϕ，
當a＜-1時，不等式的解集是$（-1，\frac{1}{a}）$，
當-1＜a＜0時，不等式的解集是$（\frac{1}{a}，-1）$．

點評 本題考查了分式不等式的等價轉化與解法，一元二次不等式的解法，以及分類討論思想、轉化思想，化簡、變形能力．