Question

已知點M（-1，0），N（1，0），動點P（x，y）滿足|PM|+|PN|=2

3

，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點N（1，0）的直線l與曲線C相交于A，B兩點，并且曲線C上存在點Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由|PM|+|PN|=2

3

，知曲線C是以M，N為焦點的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，設(shè)l：x=my+1，代入橢圓方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，假設(shè)存在點Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，其充要條件為

OQ

=

OA

+

OB

，則點Q的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）．由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）由|PM|+|PN|=2

3

，
知曲線C是以M，N為焦點的橢圓，
且a=

3

，c=1，b=

2

．
所以曲線C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，
故不妨設(shè)l：x=my+1，代入橢圓方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，…（5分）
顯然△＞0，則y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=-

4

2m2+3

，…（6分）
假設(shè)存在點Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，
其充要條件為

OQ

=

OA

+

OB

，則點Q的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）．
由點Q在橢圓上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y₁y₂=6．…（8分）
又c又A，B在橢圓上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂=-3，②…（9分）
所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m（y₁+y₂）+1，
將①②代入上式解得m=±

2

2

…（11分）
即直線l的方程是：x=±

2

2

y+1，即2x±

2

y-2=0．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．