Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點作互相垂直的兩弦OA，OB．
（1）求AB中點p的軌跡方程；
（2）求拋物線頂點O在AB上射影M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中點P的坐標，根據中點的定義得到三點坐標之間的關系，再由OA⊥OB得到

y1

x1

•

y2

x2

=-1，再結合A、B兩點在拋物線上滿足拋物線方程可得到y(tǒng)₁y₂、y₁²+y₂²的關系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．
（2）先設M（x，y），然后聯(lián)立y=kx、y=-

x

k

與拋物線求出兩交點坐標，進而得到直線OM的斜率、方程和直線AB的方程，最后聯(lián)立直線OM和直線AB的方程可得到射影M的軌跡方程．

解答：解：設A、B兩點坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB中點P坐標為（x₀，y₀），則
x₁+x₂=2x₀
y₁+y₂=2y₀

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即y₁y₂=-x₁x₂
y₁²=2px₁
y₂²=2px₂
（y₁y₂）²=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂
y₁y₂=-4p²
y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2p（x₁+x₂）
4y₀²+8p²=4px₀
y₀2=px₀-2p²
所以中點軌跡方程為：y²=px-2p²
（2）設M（x，y）
y=kx與拋物線聯(lián)立的交點坐標為（

4p

k2

，

4p

k

），y=-

x

k

與拋物線聯(lián)立的交點坐標為（4pk²，-4pk），
從而kOM=

k2-1

k

，故OM方程為：y=

k2-1

k

x    ①?
AB方程為：y+4pk=-

k

k2-1

（x-4pk²）      ②?
①×②得：y₂+4pky=-x•（x-4pk²）即：
x₂+y₂=-4pky+4pk²x=4p•（k²x-ky）         ③?
由①得：k²x-ky=x代入③并化簡得：（x-2p）²+y₂=4p²．?
所以點M的軌跡方程為：（x-2p）²+y2=4p²，其軌跡是以（2p，0）為圓心，半徑為2p的圓．

點評：本題主要考查直線和拋物線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點內容，每年必考．