Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，②f（-1）=0，則不等式（x+1）f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：

分析：本題可以先再利用奇函數(shù)的特征得到原函數(shù)的草圖，對(duì)原不等式進(jìn)行分類討論，易得本題結(jié)論．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（1，0）．
∵f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x＜-1或0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；
當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)，f（x）＞0．
當(dāng)x=-1或x=1或x=0時(shí)，f（x）=0．
∵（x+1）f（x）＞0，
∴

x+1＞0 f(x)＞0

或

x+1＜0 f(x)＜0

，
∴-1＜x＜0或x＞1或x＜-1．
∴不等式（x+1）f（x）＞0的解集為{x|x＜-1或-1＜x＜0或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性，還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．