Question

16．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA=AD=1，AB=2．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求點D到平面PMC的距離．

Answer 1

分析 （1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設PD的中點為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面PMC⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PMC內(nèi)一直線與平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，則MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，滿足定理所需條件；
（3）利用等體積，求點D到平面PMC的距離．

解答 （1）證明：設PD的中點為E，連接AE、NE，
由N為PC的中點知EN平行且等于$\frac{1}{2}$DC，
又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于$\frac{1}{2}$AB
又M是AB的中點，∴EN平行且等于AM，
∴AMNE是平行四邊形
∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD
∴MN∥平面PAD
（2）證明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）解：設點D到平面PMC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{2}h$，
∴點D到平面PMC的距離h=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定，考查體積的計算，同時考查了空間想象能力和推理能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．