如圖甲，設(shè)正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在
平面上的射影恰好在上．

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．
（1）先證（2）

試題分析：⑴證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有，           
因為平面，平面，所以平面
⑵解法1、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，
由于平面，則，                      
所以平面，則，                      
所以平面與平面所成二面角的平面角，     
圖甲中有，又，則三點共線，     
設(shè)的中點為，則，易證，所以，，；
又由，得，            
于是，，                                
在中，，即所求二面角的余弦值為．


解法2、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，                                                
所以平面，則，圖甲中有，又，則三點共線，                                                     
設(shè)的中點為，則，易證，所以，則；
又由，得，               
于是，，
在中，       
作交于點，則，以點為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標系，則、、、，則 
顯然，是平面的一個法向量，           
設(shè)是平面的一個法向量，則，即，不防取，則，                                       
設(shè)平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，，所以，
平面與平面, 所成二面角的余弦值為．                                                      
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于
中檔題．
練習冊系列答案
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