Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．
（1）求證：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證面MAP⊥面SAC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MAP內(nèi)一直線與平面SAC垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，
而PM∥BC，從而PM⊥面SAC，滿足定理所需條件；
（2）易證面MAP⊥面SAC，則AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M-AC-B的平面角，過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，在△CAN中，由勾股定理求得AN，在Rt△AMN中求出MN，在Rt△CNM中，求出此角即可．

解答：證明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中點(diǎn)
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）
（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）
∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M-AC-B的平面角，
∵直線AM與直線PC所成的角為60°
∴過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，
則∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得AN=

2

．
在Rt△AMN中，AM=

AN

tan∠AMN

=

2

•

3

3

=

6

3

．
在Rt△CNM中，tan∠MCN=

MN

CN

=

MN

CN

=

6 3

1

=

6

3

故二面角M-AC-B的正切值為

6

3

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．