已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）=3f（x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，則
sin2x-3
cos2x+1
=（　　）
A、
13
9
B、
11
6
C、-
14
9
D、-
11
6
分析：由條件f′（x）=3f（x），求得tanx=-
1
2
，化簡(jiǎn)要求的式子
sin2x-3
cos2x+1
=
-2tan2x-3
2+tan2x
，把tanx=-
1
2
 代入
-2tan2x-3
2+tan2x
，
運(yùn)算可得結(jié)果．
解答：解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx-sinx，
又f′（x）=3f（x）=3sinx+3cosx，∴cosx-sinx=3sinx+3cosx，cosx=-2sinx，tanx=-
1
2
．
∴
sin2x-3
cos2x+1
=
sin2x-3(cos2x+sin2x)
cos2 x+( cos2x+sin2x)
=
-2sin2x-3cos2x
2cos2x+sin2x
=
-2tan2x-3
2+tan2x
=
-2×
1
4
-3
2+
1
4
=-
14
9
，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的求法，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，求出tanx=-
1
2
 是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=sin（x+
π
2
），g（x）=cos（x-
π
2
），則f（x）的圖象（　�。�
A、與g（x）的圖象相同
B、與g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
C、向左平移
π
2
個(gè)單位，得到g（x）的圖象
D、向右平移
π
2
個(gè)單位，得到g（x）的圖象

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
sinπx   (x＜0)
f(x-1)-1 (x＞0)
，則f（-
11
6
）+f（
11
6
）=
-2
-2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=sin（ωx+
π
3
）（ω＞0）的圖象與y=-1的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π，要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只需把y=cos2x的圖象（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=sin（x+
π
2
），g（x）=cos（x-
π
2
），則f（x）的圖象（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=sinπx．
（1）設(shè)g(x)=
f(x)，(x≥0)
g(x+1)+1，(x＜0)
，求g(
1
4
)和g(-
1
3
)；
（2）設(shè)h(x)=f2(x)+
3
f(x)cosπx+1，求h（x）的最大值及此時(shí)x值的集合．

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