Question

已知圓x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線l：y=x+m．
（1）若m=4，求直線l被圓C所截得弦長的最大值；
（2）若直線l是圓心下方的切線，當a在（0，4]變化時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將圓的方程轉化為標準方程求得圓心C的坐標和半徑，再求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系得：L=2
最后由二次函數(shù)法求解．
（2）由直線l與圓C相切，建立m與a的關系，|m-2a|=2，再由點C在直線l的上方，去掉絕對值，將m轉化為關于a二次函數(shù)求解．
解答：解：（1）已知圓的標準方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
則圓心C的坐標是（-a，a），半徑為2．
直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是=|2-a|．
設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：
L=2
∵0＜a≤4，∴當a=3時，L的最大值為2．

（2）因為直線l與圓C相切，則有，
即|m-2a|=2．
又點C在直線l的上方，∴a＞-a+m，即2a＞m．
∴2a-m=2，∴m=-1．
∵0＜a≤4，∴0＜≤2．
∴m∈[-1，8-4]．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相切構建了函數(shù)模型，求參數(shù)的范圍，以及直線與圓相交，由圓心距，半徑和圓的弦長構成的直角三角形．