Question

14．過點(diǎn) M （0，1）且斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0）的兩漸近線交于點(diǎn) A，B，
且$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，則直線 l 的方程為y=x+1；如果雙曲線的焦距為 2$\sqrt{10}$，則 b 的值為1．

Answer 1

分析 運(yùn)用斜截式方程可得直線l的方程，設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），由$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，可得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系； 再聯(lián)立直線l的方程與雙曲線漸近線方程，解方程可得x₁，x₂，化簡整理可得a=3b，再由a，b，c關(guān)系，解方程可得b的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
由$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，得x₂=2x₁．①，
由題得：直線方程為y=x+1，
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
聯(lián)立直線l方程和漸近線方程，解得x₁=-$\frac{a}{a+b}$，
x₂=$\frac{a}{b-a}$，
即有-$\frac{2a}{a+b}$=$\frac{a}{b-a}$，
化為a=3b，
由雙曲線的焦距為 2$\sqrt{10}$，
可得a²+b²=c²=10，
即有10b²=10，
解得b=1．
故答案為：y=x+1，1．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和基本量之間的關(guān)系，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．