Question

9．構(gòu)造等比數(shù)列：已知a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，換元后構(gòu)造等比數(shù)列{b_n+1}，求其通項公式后得a_n．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，
令$_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，則$_{n+1}=\frac{3}{2}_{n}$+$\frac{1}{2}$，
∴$_{n+1}+1=\frac{3}{2}（_{n}+1）$．
∵$_{1}+1=\frac{{a}_{1}}{2}+1=\frac{3}{2}$≠0．
∴數(shù)列{b_n+1}構(gòu)成以$\frac{3}{2}$為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列．
則$_{n}+1=（\frac{3}{2}）^{n}$，即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{3}{2}）^{n}-1$，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{2}^{n}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．