已知橢圓C：+=1和點P（1，2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點，求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程．
【答案】分析：設(shè)弦中點為M（x，y），交點為A（x1，y1），B（x2，y2）．當(dāng)M與P不重合時，A、B、M、P四點共線．故（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2）．再由點差法知=-，由此可得：9x2+16y2-9x-32y=0．
解答：解：設(shè)弦中點為M（x，y），交點為A（x1，y1），B（x2，y2）．當(dāng)M與P不重合時，A、B、M、P四點共線．
∴（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2），①
由=1，+=1兩式相減得+=0．
又x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴=-，②
由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0，③
當(dāng)點M與點P重合時，點M坐標(biāo)為（1，2）適合方程③，
∴弦中點的軌跡方程為：9x2+16y2-9x-32y=0．
點評：本題考查軌跡方程的求法，解題時要注意點差法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：數(shù)學(xué)公式+y2=1和C2：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式=1（a＞b＞O），橢圓C焦距為：2c，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．
（I）求橢圓c的方程；
（II）設(shè)點P（-數(shù)學(xué)公式，0），過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當(dāng)線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1和點P（1，2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點，求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省菏澤市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點．直線OA和OB的斜率分別為kOA和kOB，且kOA•kOB=-．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

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