Question

8．已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y²=8x，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），滿足$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，則△A0B的面積為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線l為x=my+2，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，解得m，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），
設(shè)直線l為x=my+2，代入拋物線方程可得y²-8my-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
由$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×$2×$\sqrt{64{m}^{2}+64}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量的共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．