精英家教網如圖，某人在A城的南偏西20°方向上的M處觀測到一輛汽車在B處沿公路向A城行駛，公路走向是A城的南偏東40°，開始時，汽車到M處的距離為31km，汽車前進20km到達C處時，距M處的距離短了10km．問汽車還需行駛多少路程才能到達A城？
分析：由題意可知MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，由余弦定理可求得cos∠MCB，進而求得cos∠ACM和sin∠ACM，再由正弦定理進而求得AC．
解答：解：△AMC中，MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，
由余弦定理得：cos∠MCB=
MC2+BC2-MB2
2MC•BC
=
212+202-312
2×21×20
=-
1
7
，
cos∠ACM=-cos∠MCB=
1
7
，∴sin∠ACM=
1-(
1
7
)2=
4
3
7
．
△AMC中，由正弦定理得：AC=
MC•sin∠AMC
sin∠MAC

=
MC•sin(∠MAC+∠ACM)
sin∠MAC

=
21×(
3
2
×
1
7
+
1
2
×
4
3
7
)
3
2
=15km．
答：汽車還需行駛15km才能到達A城．
點評：題主要考查了正弦定理和余弦定理在實際中的應用．屬基礎題．
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