Question

用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)=

2

x

-x在（0，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析：由題意，用定義證明函數(shù)f(x)=

2

x

-x在（0，+∞）上為減函數(shù)，要先任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，再對(duì)兩函數(shù)值作差，確定出差的符號(hào)，再由減函數(shù)的定義得出結(jié)論

解答：解：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∵f(x1)=

2

x1

-x1，f(x2)=

2

x2

-x2…2分
∴f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

+x2-x1=

2(x2-x1)

x1x2

+x2-x1=(x2-x1)(

2

x1x2

+1)…8分
又∵0＜x₁＜x₂，
∴x2-x1＞0，

2

x1x2

+1＞0∴(x2-x1)(

2

x1x2

+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
由減函數(shù)的定義知道，f(x)=

2

x

-x在(0，+∞)上是減函數(shù)．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握減函數(shù)的定義以及定義法證明減函數(shù)的步驟是解題的關(guān)鍵，定義法證明單調(diào)性，判斷差的符號(hào)是解題的難點(diǎn)，易漏易錯(cuò)，判斷時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．