Question

1．若函數f（x）=ln（x²+1）的值域為{0，1，2}，從滿足條件的所有定義域集合中選出2個集合，則取出的2個集合中各有三個元素的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 由ln（x²+1）等于0，1，2求解對數方程分別得到x的值，然后利用列舉法得到值域為{0，1，2}的所有定義域情況，則滿足條件的函數個數可求，由此利用等可能事件概率計算公式能求出取出的2個集合中各有三個元素的概率．

解答 解：令ln（x²+1）=0，得x=0，
令ln（x²+1）=1，得x²+1=e，x=±$\sqrt{e-1}$，
令ln（x²+1）=2，得x²+1=e²，x=$±\sqrt{{e}^{2}-1}$．
則滿足值域為{0，1，2}的定義域有：
{0，-$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，-$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}．
則滿足這樣條件的函數的個數為9．
從滿足條件的所有定義域集合中選出2個集合，
基本事件總數n=${C}_{9}^{2}=36$，
取出的2個集合中各有三個元素的函數個數為m=${C}_{4}^{2}=6$，
∴取出的2個集合中各有三個元素的概率是p=$\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$．
故選：A．

點評 本小題主要考查學生對概率統(tǒng)計知識的理解，以及函數的相關知識，同時考查學生的數據處理能力，是中檔題．