Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，由于可證得CD⊥平面A₁ABB₁．故點(diǎn)C到平面的距離即為CD的長度，易求；
（II）解法一：由題意結(jié)合圖象，可通過作輔助線先作出二面角的平面角∠A₁DD₁，然后在直角三角形A₁D₁D中求出二面角的余弦；
解法二：根據(jù)幾何體的形狀，可過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD₁兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD₁分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角．
解答：解：（I）由AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB．又CD⊥AA₁．
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離為CD==
（II）解法一：如圖1，取D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，連接DD₁，則DD₁∥AA₁∥CC₁．
又由（I）知CD⊥平面A₁ABB₁．故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，所以∠A₁DD₁為所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角．因A₁D為A₁C在面A₁ABB₁中的射影，又已知AB₁⊥A₁C由三垂線定理的逆定理得AB₁⊥A₁D．從而∠A₁AB₁、∠A₁DA都與∠B₁AB互余．因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A．因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD•A₁B₁=8，得AA₁=2，從而A₁D==2．所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁===
解法二：如圖2，過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，有DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD₁分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
設(shè)直三棱柱的高為h，則A（-2，0，0），A₁（-2，0，h），B₁（2，0，h），C（0，，0），C₁（0，，h），從而=（4，0，h），=（2，，-h）
由AB₁⊥A₁C，可得8-h²=0，h=2，故=（-2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）
設(shè)平面A₁CD的法向量為=（x₁，y₁，z₁），則有⊥，⊥
∴•=0且•=0，即，取z₁=1，則=（，0，1）
設(shè)平面C₁CD的法向量為=（x₂，y₂，z₂），則⊥，⊥，即且=0，取x₂=1，得=（1，0，0），
所以cos＜，＞===，所以二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值
點(diǎn)評：本題考查二面角的求法及點(diǎn)到面距離的求法，點(diǎn)到面的求法一般是作垂線，垂線段的長度即所求，二面角的余弦值的求法有兩種，一種是幾何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二種方法是現(xiàn)在比較常用的方法向量法，其特征是思維量小，計(jì)算量大，作題時(shí)對這兩種方法要根據(jù)題設(shè)靈活選用