(2006•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=
(x+1)4+(x-1)4(x+1)4-(x-1)4
(x≠0).
(Ⅰ)若f(x)=x且x∈R,則稱x為f(x)的實(shí)不動(dòng)點(diǎn),求f(x)的實(shí)不動(dòng)點(diǎn);
(Ⅱ)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=f(an)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:(Ⅰ)由f(x)=
x4+6x2+1
4x3+4x
,且f(x)=x,知
x4+6x2+1
4x3+4x
=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1
x2=-
1
3
(舍去),由此能求出f(x)的實(shí)不動(dòng)點(diǎn).
(Ⅱ)由條件得an+1=
(an+1)4+(an-1)4
(an+1)4-(an-1)4
an+1+1
an+1-1
=
(an+1)4
(an-1)4
=(
an+1
an-1
)4
,從而有ln
an+1+1
an+1-1
=4ln
an+1
an-1
,由ln
a1+1
a1-1
=ln3≠0
,知數(shù)列{ln
an+1
an-1
}
是首項(xiàng)為ln3,公比為4的等比數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
x4+6x2+1
4x3+4x
,且f(x)=x,
x4+6x2+1
4x3+4x
=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1
x2=-
1
3
(舍去),
所以x=1或-1,即f(x)的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)為x=1或x=-1.
(Ⅱ)由條件得an+1=
(an+1)4+(an-1)4
(an+1)4-(an-1)4
an+1+1
an+1-1
=
(an+1)4
(an-1)4
=(
an+1
an-1
)4

從而有ln
an+1+1
an+1-1
=4ln
an+1
an-1
,
ln
a1+1
a1-1
=ln3≠0
,
∴數(shù)列{ln
an+1
an-1
}
是首項(xiàng)為ln3,公比為4的等比數(shù)列,
ln
an+1
an-1
=4n-1ln3⇒
an+1
an-1
=34n-1an=
34n-1+1
34n-1-1
(n∈N*).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn),解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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1.4
1.4

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1
2
)
的值為( 。

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